学霸的征途是星辰大海 第44章 传奇第6题

两天的休整与适应期转瞬即逝。

IMO的正式考试，拉开了帷幕。

考试分为两天，每天上午八点半到下午一点，持续四个半小时，解答三道题。两天六题，总计九个小时。

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第一天的考场，气氛肃穆得如同古代的祭典。

当试卷发到手中时，徐辰深吸一口气，迅速进入了状态。

前三道题，难度梯度分明。

第一题是几何，第二题是代数，第三题是数论。虽然每道题都充满了精巧的陷阱，但对于徐辰这种级别的选手而言，都在「射程范围」之内。

他下笔如飞，各种定理丶引理信手拈来，解题过程简洁而优雅。

四个半小时的考试，他只用了不到三个小时，便完成了全部解答，并检查了两遍。

当他放下笔时，抬头环视了一圈考场。

不远处美国队的林逸轩，同样是一副气定神闲的模样，显然也已完成。

另一侧，韩国队的朴俊熙眉头紧锁，似乎在某个细节上卡住了，但看他草稿纸上清晰的逻辑链，攻克也只是时间问题。

第一天的考试，波澜不惊。

各国顶尖高手，几乎是齐头并进，比分胶着。这更像是一场「资格赛」，将那些实力稍逊的选手筛选出去，为第二天的终极对决，铺平了道路。

……

第二天，决战之日。

上午八点半，当考生们再次走进考场时，空气中的紧张感，比昨天浓烈了十倍不止。

第四题，组合。

第五题，函数方程。

难度，比第一天陡然提升了一个台阶。

徐辰明显感觉到，自己的解题速度慢了下来。这两道题，不再是单纯的技巧应用，而是需要更深层次的构造性思维。

他花了整整三个小时，才将这两道题彻底拿下。

当他完成第五题时，抬头看了一眼墙上的时钟。

十一点半。

距离考试结束，还有一个半小时。

他揉了揉有些发酸的手腕，目光不经意地扫过考场。

不远处的美国队方向，那个被誉为「下一个陶哲轩」的华裔天才林逸轩，几乎在同一时间放下了笔，脸上带着一贯的桀骜与自信。他甚至还朝着徐辰的方向，投来了一个挑衅的眼神，仿佛在说：「你也不过如此。」

徐辰心中毫无波澜，甚至有点想笑。

【这家伙……胜负欲还挺强。】

他内心吐槽了一句，收回目光。

前五道题，虽然难度层层递进，充满了各种巧妙的陷阱，但对于他和林逸轩这种级别的选手来说，都还在「已知武器库」的射程之内。无非是比谁的思路更快，计算更稳。

从时间上看，两人几乎是齐头并进，不分伯仲。

真正的决战，是最后的那道题。

徐辰的目光，落向了那道题。

然后，他的瞳孔，微微一缩。

【第6题：设a，b为正整数，使得(ab 1)|(a2 b2)。求证：(a2 b2)/(ab 1)的值是一个完全平方数。】

题干，短得令人发指。

徐辰的瞳孔，微微一缩。这个题目不在他的创新解法题库中。

徐辰的第一反应，和在场的所有顶尖高手一样，立刻尝试用最常规的武器去攻击这道题的「城门」。

【设(a2 b2)/(ab 1)=k。尝试分析k的性质。】

【从整除关系入手？(ab 1)|(a2 b2)。利用a2≡(-1/b)2(modab 1)？】

【不行，分母中含有b，无法消去。】

【尝试放缩？不妨设a≥b。则k=(a2 b2)/(ab 1)＜(a2 a2)/ab=2a/b。】

【这个界太松了，得不到任何有用信息。】

【反证法？假设k不是完全平方数。然后呢？如何从这个假设，推导出矛盾？】

【k的取值范围太广，无法进行有效的分类讨论。】

一瞬间，数种常规的数论武器，在他脑海中轮番上阵，却又被那看似简单的题面，一一轻松化解。

徐辰感觉自己的思路，撞上了一堵无形却又坚不可摧的墙。

这道题，就像一个外表光滑如镜的完美球体，找不到任何可以下手的缝隙。

它拒绝了所有常规的分析工具，仿佛在用一种高傲的姿态，嘲笑着所有试图用「技巧」来征服它的挑战者。

【有点意思……出题委员会这帮老头子，有点东西。】

徐辰的脑海中，瞬间闪过了李振华教授在集训队最后一次动员会上，那段凝重无比的讲话。

「孩子们，你们要记住，IMO的赛场上，有一种题目，它存在的目的，不是为了让你们解答，而是为了区分『天才』与『鬼才』。」

「历史上，这种情况出现过一次。1988年，罗马尼亚IMO，第六题。」

「最终，只有11人拿到了满分。」

「这十一人中，走出了一位后来的菲尔兹奖得主——吴宝珠。」

「而被这道题拦在门外的，同样星光熠熠。就连那位被公认为几十年一遇的天才——陶哲轩，在那届IMO上，其他五道题全部满分，却在这道传奇第六题上，仅仅拿到了可怜的1分。」

「甚至，就连当年的IMO议题委员会，以及四位顶级的数论专家，都没能在六个小时的限制时间内，完整地解出这道题。」

徐辰的内心，忍不住道。

【所以，今年这帮老头子，是打算复刻一次传奇，再造一个神话？】

……

绝境，并非他一人。

前排的詹姆斯·林，早已没有了昨日的从容。他烦躁地抓着自己的头发，面前的草稿纸已经堆起了厚厚一摞，上面画满了各种混乱的符号和被划掉的推演。他的脸上，第一次出现了那种属于凡人的丶无计可施的挫败感。

韩国队的朴俊熙，面色凝重如铁。他紧紧地抿着嘴唇，笔尖在纸上悬停了许久，却迟迟无法落下。

就连被认为最擅长组合难题的中国队其他队员，此刻也都是一筹莫展，或低头沉思，或望着天花板，徒劳地寻找着那不存在的灵感。

整个考场，仿佛成了一座巨大的丶无声的绞肉机。

……

【冷静……冷静……】

徐辰闭上眼睛，强迫自己进入深度思考状态。

【常规方法走不通，说明这道题的本质，必然隐藏在一个极深的丶非常规的数学结构之下。】

【该使用专注胶囊了。】

徐辰心中默念。之前奖励的5颗胶囊，现在只剩2颗了。每一次都是在最关键的时刻使用，效果斐然。

一股清凉的感觉，瞬间涌入大脑。外界的一切嘈杂都消失了，他的思维，变得前所未有的清晰和敏锐。

徐辰此时已进入专注思考状态。

【常规方法走不通，说明这道题的本质，必然隐藏在一个极深的丶非常规的数学结构之下。】

【(a2 b2)/(ab 1)=k，其中k为正整数。】

【a2-(kb)a (b2-k)=0。】

【这是一个关于a的二次方程。如果(a，b)是一组解，那麽根据韦达定理，必然存在另一个解a'=kb-a。】

【这个思路，就是韦达跳跃的核心。但问题是，如何证明k必须是完全平方数？】

他的大脑，在这一刻，以一种超越极限的速度运转起来。

无数的数学定理丶公理丶性质，在他脑海中如同星辰般闪烁丶碰撞丶重组。

突然，一个极其冷门丶甚至在他庞大的知识库中都只占据了一个微不足道角落的定理，如同流星般，划破了所有的迷雾。

【费马的无穷递降法！】

【不，不对，是它的一个变种——在丢番图方程解集结构中的应用！】

一个大胆到近乎疯狂的念头，在他心中升起。

【如果，我能证明，对于任意一个非平方数的k，这个方程的解集，可以通过韦达跳跃，构造出一个无限递降的正整数序列……】

【而正整数序列，是不可能无限递降的！这就导出了矛盾！】

找到了！

那条通往终点的丶唯一的光！

徐辰猛地睁开眼，眼神中爆发出前所未有的璀璨光芒。

他拿起笔，没有再进行任何试探性的计算。

他的笔尖，在答题纸上，写下了一行如同诗歌般凝练的文字。

【解：设(a2 b2)/(ab 1)=k。不妨设k不是一个完全平方数。】

【在所有满足该方程的正整数解(a，b)中，取a b最小的一组解，且a≥b。】

【考虑关于x的二次方程x2-(kb)x (b2-k)=0。】

【显然，a是该方程的一个正整数根。设另一根为a'。】

【由韦达定理，a a'=kb，a*a'=b2-k。】

【易证a'是一个整数，且a'=(b2-k)/a＜b。若a'＞0，则(a'，b)是方程另一组正整数解，且a' b＜a b，与a b的最小性矛盾。】

【若a'=0，则b2=k，与k不是完全平方数矛盾。】

【若a'＜0……】

一步，两步，三步……

逻辑的链条，环环相扣，无懈可击。

他没有用任何复杂的运算，仅仅利用了反证法丶最小数原理和韦达定理这三个最基础的数学工具，便将整个问题，引入了一个必然会产生矛盾的逻辑闭环！

最终，他写下了结论。

【……综上，假设不成立。故k必为一个完全平方数。】

【证毕。】

当最后一个句号落下时，距离考试结束，还有十分钟。

他放下笔，长长地舒了一口气，靠在了椅背上。

【内心OS：搞定，收工。】