1978：从婴儿开始增加智商 第一百零四章 淘汰

第104章淘汰

陆沉不知道该怎么接这句话。

彭老师也没有等他接。

「不过，你证明里有一个地方可以再精简。」他从文件袋里抽出一张草稿纸，铺在讲台上，画了一个简图，「从Turán极图的稳定子类到同调群维数计算的那一步过渡，你用了一个辅助构造。其实如果你直接利用Turán图本身的分层结构，可以少绕一步。」

陆沉看着彭老师在草稿纸上画的那个简图。

那是一个比他的原证明更简洁的构造—把Turán图的r部划分直接对应到单纯复形的r维骨架，然后通过计算骨架的同调群维数来得到极值的下界。

这个构造绕开了他原来那个辅助商构造，节省了大约三分之一的推导长度。

他盯着那张图看了十几秒，然后抬起头。

「彭老师，这个构造如果推广到禁止任意图H的情况，还能用吗？」

彭老师的眼镜片后面闪过一丝光。

「你问到点子上了。对于一般的H，Turán图的分层结构不再直接对应于同调维数的极值。这也是为什么图兰定理的扩展形式埃尔德什—斯通定理的证明比经典图兰定理复杂得多。」

他把草稿纸折起来递给陆沉。

「这张你留着。推广的事，不急。先把经典情况吃透。」

陆沉接过草稿纸，折好夹进便签本里。

走出教室的时候，王雪松在走廊里等他。

王雪松手里拿着笔记本，翻到某一页，上面画着一个和彭老师刚才画的类似的图但方向不同。

王雪松画的是把极值图论问题转化为矩阵特徵值估计的思路。

「我刚才听彭老师讲你那第二种证明路径的时候，忽然想到的。」王雪松把笔记本递过来，「如果把图的邻接矩阵的特徵值和图的同调群联系起来，是不是可以建立一个统一的框架？」

陆沉看着王雪松笔记本上那张图。

图的邻接矩阵——拉普拉斯矩阵——特徵值分布——谱半径——与同调群的贝蒂数之间的不等式关系。

王雪松画的箭头从左上角一直连到右下角，中间经过了四五个中间步骤，每一步旁边都标注了需要证明的引理。

这不是一个随手的想法。

这是一个有完整骨架的研究提纲。

「你这个框架。」陆沉看完以后说，「如果建成了，能把极值图论和谱图论打通。」

王雪松把笔记本收回去，合上。

「我知道。但中间需要证的引理太多了，我一个人短时间内证不完。等集训结束，如果你有兴趣—

」

他没有说完。

陆沉说：「有兴趣。」

王雪松点了点头，把笔记本放进书包里，往食堂的方向走去。

走了几步又回头：「今天食堂有红烧带鱼，走快点。」

晚饭确实有红烧带鱼。

陆沉打了一份，坐在陈志远旁边吃。

陈志远今天异常安静，整个吃饭过程中只说了两句话，一句是这带鱼刺真多，另一句是帮我递一下醋。

陆沉知道他在想什么。

下午彭老师讲图兰定理的时候，陈志远一直在记笔记，记得很认真，但他记笔记的方式和其他人不一样。

他记的不是彭老师讲的内容本身那些内容讲义上都有。

他记的是彭老师在讲解过程中随口说的那些话：这个构造的关键在于找到合适的分层丶这里的估计如果改用另一种范数可能会更紧丶这个方向目前还没有人做过。

这些话彭老师说出来可能自己都没太在意，但陈志远把它们全记下来了。

晚自习的时候，陈志远把笔记本摊开，对照着彭老师课堂上说的那些还没有人做过的方向，一条一条地查资料。

阅览室里的资料有限，他翻遍了书架上的《数学通报》合订本和几本论文集，找到了其中两个方向的相关文献，另外三个方向确实如彭老师所说，几乎是一片空白。

他合上最后一本论文集，靠在椅背上，盯着天花板看了很久。

「陆沉。」他说。

「嗯。

「」

「你说，一个人如果知道自己可能走不到最后，那他在路上做的这些事，记的笔记，查的资料，想到的点子，还有没有意义？」

陆沉停下笔。

阅览室的日光灯嗡嗡地响着，窗外有风摇动树枝的影子映在窗帘上。

他想了很久，然后说：「有。」

「为什么？」

「因为路不止一条，集训队是一条路，国家队是一条路，IMO是一条路。但数学本身是一条更长的路，你今天记的那些还没有人做过的方向，也许五年以后丶十年以后，你会真的去做它们。到那时候，没有人会问你你当年进国家队了吗。他们只会看你做出来的东西。」

陈志远听完以后沉默了很长时间。

然后他把靠椅背的头收回来，重新打开笔记本，翻到刚才查资料的某一页，在旁边又写了一行批注。

陆沉没有看他在写什么。

他把自己便签本里彭老师画的那张简图拿出来，铺在桌上，开始想王雪松说的那个框架——邻接矩阵的特徵值和同调群之间的联系。

图的谱半径。

拉普拉斯矩阵的次小特徵值。

与单纯复形的贝蒂数。

这些概念在他的大脑里分属于两个不同的知识体系—谱图论和代数拓扑。

王雪松画的那些箭头，本质上是在两个体系之间寻找对应关系。

他翻到便签本空白的一页，开始写。

先写谱图论侧的核心不等式：Cheeger不等式，图的扩张常数与拉普拉斯特徵值的关系。

再写代数拓扑侧的核心工具：单纯复形的同调群维数与面数的关系。

然后尝试在两者之间建立映射图的边对应于单纯复形的1维骨架，图的圈对应于1

维同调群的生成元，图的完全子图对应于高维单形。

写到中间一个引理的时候他卡住了。

图的邻接矩阵特徵值分布和同调群维数之间的一个不等式，方向和他预期的不一致。

他试了三种不同的映射方式，不等式方向都没有调过来。

他没有继续硬推。

他把这一页翻过去，在下一页写下了卡住的位置和可能的原因，然后合上便签本。

有些问题需要时间。

回到宿舍的时候，陈志远已经躺在床上了，但没有睡，手里举着那本吉米多维奇，翻到多重积分变量代换那一章。

他看见陆沉进来，把书放下。

「我想好了。」他说。

「想好什么？」

「不管最后进不进国家队，这半年我要学够本。」他把书重新举起来，挡住了脸，「吉米多维奇，还有阅览室里那些论文集，能啃多少啃多少。将来回去了，这些东西又不会消失。」

陆沉在自己床边坐下，脱鞋，躺下。

BJ的暖气今晚烧得比平时热一些，窗玻璃上的霜花化成水，一道一道地流下来。

「不会消失的。」他说。

陈志远在书后面嗯了一声。

第一次淘汰来得比所有人预想的都要早。

三月初的一个周六，刘领队在集会上宣布了第一轮集训的最终排名。

二十七个人，只有十八个人能留下来。

宣布的方式和发成绩单时一样，每人一个牛皮纸信封，里面装着排名和去留决定。

但这一次，信封的厚度不一样。

留下来的十八个人，信封里除了成绩单还有一张下一轮集训的日程表。

另外九个人，信封里只有一张返程火车票。

陆沉拆开自己的信封时注意到一个细节：火车票的日期是三天后，座位是硬卧。

集训队的经费并不宽裕，但给离开的人买了卧铺。

这个细节让活动室里的空气变得更加沉重—连告别的方式都被考虑得这么周全，意味着离开这件事从一开始就是被认真对待的，不是一个临时决定，而是整个计划的一部分。

没有人当场拆开信封看结果。

所有人把信封揣进口袋里，走出活动室，回到宿舍，或者找一个没人的角落，一个人面对那张纸。

陆沉在走廊里看见了陈志远的背影。

陈志远走得不快，两只手插在裤兜里，肩膀微微往前倾，像顶着风走路。

他没有回宿舍，而是拐进了水房。

陆沉跟过去，站在水房门口。

陈志远站在洗手池前面，信封拆开了，里面的纸摊在池子边沿。

他低着头看那张纸，两只手撑着水池边缘，手指用力到关节发白。

水龙头没关紧，水一滴一滴地落下来，砸在瓷砖上，声音在水房里被放大了好几倍。

陆沉没有走进去，也没有离开。

他站在门口，等。

过了大概两分钟，陈志远把那张纸折起来放回信封里，然后把信封揣进裤兜。

他拧开水龙头洗了一把脸，冷水泼在脸上，顺着下巴滴进领口。

洗完脸他抬起头，从水池上方那面缺了一个角的镜子里看见了门口的陆沉。

「十八个人。」陈志远对着镜子里的陆沉说，「我是第十七个。」

陆沉走进水房，靠在陈志远旁边的水池上。

「那留下了。」

「留下了。」陈志远从兜里掏出那张皱巴巴的日程表，上面印着下一轮集训的时间安排，「最后一名。」

「最后一名也是留下了。」

陈志远把日程表折好放回去，转过身，背靠在水池边沿上。

他的眼睛有点红，但脸上的表情已经恢复了那种带着疲惫的平静。

「我知道。我没有不高兴。我只是一」

他停顿了一下，在水房里潮湿的空气里寻找措辞。

「我只是忽然发现，原来留下和离开之间的距离，比我以为的要近得多。」

陆沉没有说话。

他知道陈志远说的不是分数，不是排名，是一种更本质的东西一当你被放在一个所有人都在拼命往前游的池子里，你游得比任何时候都快，但抬头一看，你离池子的边缘并没有变远，只是没有被淹死。

这种感觉，只有真正泡在那个池子里的人才能体会。

「第十七个。」陈志远重复了一遍这个数字，然后从水池边直起身，「下次测评是什么时候？」

「四周后。」

「四周。」陈志远把这两个字嚼了一遍，「够了。」

他走出水房，背影消失在走廊尽头。

陆沉在水房里又站了一会儿，听着那只没关紧的水龙头一滴一滴地落水。

声音很轻，但在这个被瓷砖包裹的空间里，每一声都清清楚楚。

傍晚，陆沉在阅览室门口遇见了方宜民。

方宜民手里拿着一份名单，表情有些凝重。

他看到陆沉，犹豫了一下，然后把名单递过来。

「你看看这个。」

名单上是被淘汰的九个人的名字。

陆沉的目光从上往下扫过，大多数名字他都认识有那个摸底考试时坐他前排的湖南男生，有那个每天晚饭后围着操场走十圈的山东女生，有那个在郑老师课上问出过很精彩问题的福建男生。

每一个都是在自己省份被叫了好几年天才的人，每一个都在集训队里拼过命。

然后他的目光停在最后一个名字上。

周尧。

四川来的，那个沉默的男生。

第一次综合测评拿了满分的七个人之一。

摸底考试时也是满分。

陆沉抬起头看着方宜民。

「周尧？」

方宜民叹了口气。

「第二轮综合测评他考砸了。一道大题方向走偏，写了四页纸发现不对，来不及改。

那道题零分。总分直接从第一梯队掉到淘汰区。」

陆沉想起周尧。

那个人说话很少，但每次开口都在点子上。

他在阅览室总是坐在最角落的位置，面前摊着两三本同时翻开的书，像一只蜘蛛同时编织好几张网。

他的数学直觉很好，不是那种训练出来的好，是天生就能闻到正确路径在哪里的好。

「他还在宿舍吗？」陆沉问。

「在收拾东西。」方宜民说，「明天一早的火车。」

陆沉往周尧的宿舍走去。

走廊里很安静，大多数人都还窝在自己的房间里消化今天的消息。

周尧的宿舍门半开着，里面传出叠衣服的声音那种布料被仔细抚平丶摺叠丶压实的声音，很慢，很整齐。

陆沉敲了敲门框。

周尧抬起头。

他的床铺上摊开着一个旧的帆布旅行袋，里面已经装了一半东西。

几件叠得整整齐齐的衣服，一本《高等代数》，一本翻烂了的《数论导引》，一个搪瓷缸子，一支钢笔。

东西不多，每一样都放得很规整。

「来告别？」周尧问。

他的声音很平，和他平时说话一样。

陆沉走进来，在周尧对面的空床位上坐下。

那张床位原来住着一个河北的队员，上一轮测评后已经离开了，床板上只剩下光秃秃的草垫子。

「你第二轮那道题。」陆沉说，「我听方宜民说了。

97

周尧把一件毛衣叠好放进行李袋里，动作没有停。

「方向选错了。我以为是代数数论的路子，往分圆域扩张上走了。写到第三页发现不对，那条路走到头是一个死胡同。往回撤的时候时间已经没了。」

他把毛衣的袖子掖进行李袋边缘，然后停下来，看着自己的手。

「那道题的正确路径是解析数论。狄利克雷特徵和。我后来在宿舍里重新推了一遍，从正确的入口进去，二十分钟就写完了。」

陆沉没有说话。

这种时刻说什么都是错的。

周尧不需要安慰，不需要分析，不需要下次再来。

他十七岁了，这是他的第二次集训队，也可能是最后一次。

高考在即，他不可能再等一年。

周尧从枕头底下抽出一本薄薄的笔记本，递给陆沉。

笔记本的封面是牛皮纸的，用黑色墨水写着数论杂记四个字，字迹清瘦有力。

「这是我这两年记的一些东西。不是习题，是一些定理的另类证明，还有一些我觉得有意思但没有时间继续往下推的方向。」

他把笔记本放在陆沉手里，「阅览室里那本《数论导引》的边角都快被我翻烂了，但有些东西书上没有。我写在这里了。」

陆沉翻开笔记本。

第一页是一道关于二次剩余的证明，用了一种他从未见过的构造—把勒让德符号的计算转化为一个图论问题，通过计算图的奇偶圈数量来得到二次剩余的值。

证明写得很简洁，关键步骤旁边用铅笔标注着思路来源和可能的推广方向。

他翻到后面。

每一页都是类似的东西，不是课堂笔记，不是习题解答，是一个真正在思考数学的人在遇到标准答案之后仍然不满足丶继续追问还能不能有别的理解方式时留下的痕迹。

「这个图论方法。」陆沉指着第一页，「你后来推广了吗？」

周尧看了一眼。

「试过。对三次剩余也能构造类似的图，但图的规模增长很快，计算量比二次情况大得多。我做到一半卡住了，没找到简化计算的方法。」

他顿了顿，然后说：「你可以试试。」

陆沉合上笔记本。

「我会的。」

周尧把最后一件东西放进行李袋—一个用毛线织的笔套，里面插着三支笔。

他把笔套放在衣服最上面，然后拉上行李袋的拉链。

拉链的声音在安静的宿舍里响了好长一段时间。

「我老家在四川一个小县城，你们可能没听过。」周尧拉好拉链以后没有立刻起身，而是坐在床沿上，两只手放在膝盖上，「我们县中建校以来，我是第一个进国家集训队的。走的时候，全校在操场上给我开欢送会。教导主任说，周尧同学代表我们县去BJ

了。」

他的声音一直很平，像在讲别人的故事。

「我走的时候想的是，一定要进国家队，让那个在操场上给我开欢送会的学校，能在校门口拉一条横幅。」

他站起身，把行李袋挎在肩上。

「现在没有横幅了。」

陆沉站起来。

「你那个图论方法，如果推广到一般的高次剩余，可能是一条新路。我做完以后，论文上会写你的名字。」

周尧看着他。

这个沉默了整个集训期的四川男生，嘴角终于动了一下。

不是笑，是一种被认真对待了的确认。

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